完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

1
2
3
输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

1
2
3
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

  • 1 <= n <= 104

问题可以转化为从所有的完全平方数中选择，求出相加恰好等于n的最少数量，由于每个完全平方数的数量是无限的所以是一个完全背包问题。

f[i][j]表示从前i个完全平方数中组成j的最少数量。

f[i][j]=Math.min(f[i-1][j],f[i][j-i*i])

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class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int N = 100;
        // f[i][j]表示用前i个完全平方数组成j的最小个数
        int[][] f = new int[101][n + 1];
        //因为所有的状态都是从第0行得到，并且是求最小值，所以第0行初始化为无穷大
        Arrays.fill(f[0], Integer.MAX_VALUE);
        f[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= 100; i++) {
            int square = i * i;
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                if (square > j) {
                    f[i][j] = f[i - 1][j];
                } else {
                    f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j], f[i][j - square] + 1);
                }
            }
        }
        return f[100][n];
    }
}

状态转移时只用到了当前行和上一行的状态所以空间可以优化为1维。

f[i]表示恰好组成n的最少数量。

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class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        // f[i]表示组成i的最小次数
        int[] f = new int[n + 1];
        Arrays.fill(f, Integer.MAX_VALUE);
        f[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= 100; i++) {
            int square = i * i;
            for (int j = square; j <= n; j++) {
                //f[j]对应二维中的f[i-1][j],因为此时的f[j]还没有更新，所以是上一行的f[j],所有f[j]=f[i-1][j]
                //f[j-square]+1对应f[i][j-square]+1,因为j-square<j并且是从小到大遍历,所以j-square是dan
                f[j] = Math.min(f[j], f[j - square] + 1);
            }
        }
        return f[n];
    }
}